Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berorde dua. Bentuk persamaan kuadrat secara umum adalah:

0 = ax² + bx + c, dimana a ≠ 0

---

Kalkulator

Kalkulator di bawah ini akan menghitung diskriminan dari sebuah persamaan kuadrat serta mencari akar-akarnya.

Masukkan koefisien-koefisien a, b, dan c.
x² + x +  = 0 

Sifat-sifat persamaan kuadrat

•  Grafik dari sebuah persamaan kuadrat disebut merupakan sebuah parabola.
  • Sumbu simetri dari parabola itu adalah garis x = ^-b/_2a.
  • Koordinat dari titik puncak parabola dapat ditemukan dengan menghitung nilai y pada sumbu simetri, yaitu dengan menghitung nilai y pada x = ^-b/_2a.
  • Jika a > 0 (positif), maka parabola dari persamaan kuadrat tersebut membuka (menghadap) ke atas, jikaa < 0 (negatif), maka parabola dari persamaan kuadrat tersebut membuka (menghadap) ke bawah.
    
• Nilai dari b² − 4ac disebut sebagai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat itu.
  Dengan melihat nilai diskriminan dari sebuah persamaan kuadrat, kita dapat mengetahui hal-hal berikut:
  • Jika diskriminan itu positif (D > 0), maka persamaan kuadrat tersebut memiliki 2 akar yang berbeda dan keduanya adalah bilangan Riil (ℝ). Grafik parabola dari persamaan kuadrat tersebut memotong sumbu x di dua titik.
  • Jika diskriminan itu sama dengan nol (D = 0), maka persamaan kuadrat tersebut memiliki 1 akar bilangan Riil (ℝ). Grafik parabola dari persamaan kuadrat tersebut memotong sumbu xdi satu titik.
  • Jika diskriminan itu negatif (D < 0), maka persamaan kuadrat itu memiliki 2 akar yang berbeda dan keduanya adalah bilangan kompleks (ℂ). Grafik parabola dari persamaan kuadrat tersebut tidak memotong sumbu x.
  
   

Cara-cara atau metode untuk mencari akar persamaan kuadrat

Ada beberapa cara untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat. Di antaranya adalah dengan cara-cara berikut ini:

Anak laki-laki lebih berani mengambil resiko dalam menjawab soal-soal matematika

Dalam sebuah penelitian di Universitas Missouri, Amerika Serikat, ditemukan bahwa anak laki-laki mempunyai pendekatan yang berbeda daripada anak perempuan dalam menyelesaikan soal aritmatika di sekolah dasar. Anak laki-laki memiliki kecenderungan untuk menjawab soal aritmatika dengan mengingat jawabannya dari memori. Cara ini lebih cepat, walaupun resiko untuk salah lebih besar daripada cara yang lebih cenderung diambil oleh anak perempuan, yaitu dengan cara menghitung jawabannya secara akurat.

Drew Bailey, salah seorang peneliti yang baru saja menerima gelar doktor dalam bidang sains psikologi dari Universitas Missouri, mengatakan bahwa perbedaan akurasi aritmatik antara anak laki-laki dan perempuan berasal dari keberanian mengambil resiko salah dengan menjawab dari ingatan atau memori. Dalam penelitian yang dilakukan bersama David Geary, seorang profesor dari Universitas Missouri, ditemukan bahwa anak laki-laki lebih cepat menjawab soal-soal aritmatika dibandingkan dengan anak perempuan, walaupun lebih banyak juga jawabannya yang salah. Anak perempuan menjawab dengan lebih lambat, tetapi lebih akurat. Walaupun demikian, karena anak laki-laki lebih sering menjawab, mereka juga lebih banyak mendapatkan latihan dan jawaban-jawaban mereka lama-kelamaan juga menjadi lebih akurat. Karena itulah juga ketika mereka sudah kelas enam, anak laki-laki dapat menjawab lebih banyak soal-soal serta lebih akurat.

Dengan pengertian akan hasil penelitian di atas, guru-guru serta para orang tua bisa membantu anak-anaknya belajar dengan lebih baik. "Orang tua dapat membantu anak-anaknya memiliki kemampuan aritmatika lebih baik dengan memperkenalkan angka-angka dan matematika dasar sebelum mereka masuk sekolah dasar sehingga mereka tidak terlalu takut menjawab soal-soal matematika", kata David Geary. Dia juga mengatakan bahwa sebagai orang dewasa, nampaknya sangat mudah mengingat fakta-fakta dasar matematika, namun bagi seorang anak, jaringan di otaknya masih baru terbentuk. Dengan menjawab soal-soal dari ingatan, jaringan di otaknya akan bekerja, walaupun pada mulanya mungkin banyak jawabannya yang salah, dan lama kelamaan, akan berkembang untuk memiliki ingatan yang lebih baik sehingga menghasilkan jawaban-jawaban yang lebih akurat. Hasil penelitian tersebut telah diterbitkan dalam Jurnal Eksperimen Psikologi Anak.

Bilangan Prima dan Faktor Prima

Bilangan prima adalah bilangan bulat positive yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Misalnya, 7 adalah bilangan prima karena faktor-faktor dari 7 adalah 1 dan 7.

Trivia

Bilangan prima terbesar yang diketahui sampai saat ini adalah2^57,885,161 − 1.
Bilangan prima ini ditemukan pada tanggal 25 January 2013 dan mempunyai 17,425,170 angka.

Bilangan-bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, dan seterusnya. Perhatikan bahwa 1 bukan merupakan bilangan prima karena ia hanya mempunyai satu faktor.

Anda dapat mengecek apakah sebuah bilangan merupakan bilangan prima dengan memasukkan bilangan tersebut di bawah ini. Jika satu-satunya faktor prima dari bilangan tersebut adalah bilangan itu sendiri, maka ia adalah bilangan prima.

Faktor prima adalah faktor-faktor dari bilangan bulat yang merupakan bilangan prima. Faktor prima dapat digunakan untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua atau lebih bilangan bulat.

Bagaimana mencari faktor prima dari sebuah bilangan?

Untuk mencari faktor prima dari sebuah bilangan, kita dapat membagi bilangan itu dengan bilangan prima secara berulang-ulang.

Misalnya untuk mencari faktor prima dari 36, kita lakukan langkah-langkah berikut ini.

• Bagi 36 dengan bilangan prima yang terkecil, yaitu 36 ÷ 2
  36 ÷ 2 = 18
• 18 dapat dibagi dengan 2, maka 18 ÷ 2
  18 ÷ 2 = 9
• 9 tidak dapat dibagi dengan 2, maka cobalah membagi dnegan bilangan prima berikutnya, yaitu 3
  9 ÷ 3 = 3
• 3 adalah bilangan prima, jadi kita berhenti di sini. Faktor-faktor primanya adalah bilangan-bilangan yang kita gunakan untuk membagi dalam langkah-langkah di atas, termasuk bilangan prima yang kita dapatkan sebagai hasil dari pembagian terakhir yang kita lakukan. (yang tercetak tebal di atas)
  
  Jadi, 36 = 2 × 2 × 3 × 3
  
  Atau dengan notasi indeks: 36 = 2² × 3²

Contoh lain: untuk mencari faktor prima dari 42.

• 42 ÷ 2 = 21
  21 ÷ 3 = 7
• Jadi, 42 = 2 × 3 × 7

Matriks Transformasi

Kalkulator Transformasi Linier (2 Dimensi) — Rotasi (perputaran), refleksi (pencerminan), dilatasi (perbesaran/pengecilan), dan geseran (shear)

Gunakan kalkulator di bawah ini untuk menghitung hasil transformasi dari titik-titik dalam ruang 2 dimensi.

Pertama-tama, masukkan koordinat dari titik-titik yang akan di transformasikan (maksimum 10 titik).		Lalu pilih jenis transformasi dan parameter-parameter yang diperlukan (sudut putar, skala, dll).
A	,	Jenis transformasi:  .. pilih satu .. Rotasi (perputaran) dengan pusat O(0,0) Refleksi (pencerminan) Dilatasi (perbesaran/pengecilan) Geseran (shear)
B	,
C	,
D	,
E	,
F	,
G	,
H	,
I	,
J	,

Transformasi-transformasi di atas (rotasi, refleksi, dilatasi, dan geseran) dapat dilambangkan dengan matriks. Untuk mencari bayangan (hasil transformasi) dari sebuah titik, kita kalikan matriks transformasinya dengan kolom vektor yang merupakan koordinat dari titik tersebut.

Matriks-matriks transformasinya adalah sebagai berikut:

Type of transformation	Transformation matrix
Rotasi searah jarum jam dengan sudut putar θ dengan pusatO(0,0).	cos θ sin θ −sin θ cos θ
Rotasi anti arah jarum jam dengan sudut putar θ dengan pusatO(0,0).	cos θ −sin θ sin θ cos θ
Refleksi (pencerminan) terhadap sumbu x.	1 0 0 −1
Refleksi (pencerminan) terhadap sumbu y.	−1 0 0 1
Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k.	k 0 0 k
Geseran horisontal (sejajar dengan sumbu x) dengan faktor m.	1 m 0 1
Geseran horisontal (sejajar dengan sumbu y) dengan faktor m.	1 0 m 1

Contoh:

• Putar titik A (2,3) searah jarum jam dengan pusat O(0,0) dan sudut putar 90°.
  

  x′ y′

  =

  cos 90° sin 90° −sin 90° cos 90°

  x y

  x′ y′

  =

  0 1 -1 0

  2 3

  x′ y′

  =

  3 -2

• Cerminkan titik A (-3,4) terhadap sumbu x
  

  x′ y′

  =

  1 0 0 -1

  x y

  x′ y′

  =

  1 0 0 -1

  -3 4

  x′ y′

  =

  -3 -4

PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL

B. Pangkat Bulat Negatif dan Nol

1. Pangkat Bulat Negatif

Pada sifat 2 kita ketahui bahwa  a^m  _:  aⁿ  = a^m-n.

Itu hanya mempunyai arti jika m > n.

Sekarang kita perhatikan bentuk berikut.

sedangkan

Jadi, bentuk   1  =  a^-2 ( bentuk pangkat bulat negatif ).

Bentuk umumnya :

Jika a adalah bilangan riil, a ≠ 0, m adalah bilangan bulat positif, dan –m adalah bilangan bulat  negative, maka

Contoh :

Ubah kedalam bentuk pangkat positif !

Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan Linear

Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini

x	+	y	−	z	=	1	(1)
8x	+	3y	−	6z	=	1	(2)
−4x	−	y	+	3z	=	1	(3)

Metode eliminasi

Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.

Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunyai koefisien yang sama (baik positif maupun negatif) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4).

x	+	y	−	z	=	1	(1)
−4x	−	y	+	3z	=	1	(3)
-------------------------							+
−3x			+	2z	=	2	(4)

Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan (4). Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2). Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk yadalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1).

x

+

y

−

z

=

1

(1)

× 3

3x

+

3y

−

3z

=

3

(1)

8x

+

3y

−

6z

=

1

(2)

8x

+

3y

−

6z

=

1

(2)

-------------------------

-

−5x

+

3z

=

2

(5)

Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk menghilangkan z.

−3x

+

2z

=

2

(4)

× 3

−9x

+

6z

=

6

(4)

−5x

+

3z

=

2

(5)

× 2

−10x

+

6z

=

4

(5)

-------------------------

−

x

=

2

(6)

Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2. Sekarang kita bisa subtitusikan (masukkan) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.

−3(2) + 2z	=	2	(4)
−6 + 2z	=	2
2z	=	8
z	=	8 ÷ 2
z	=	4

Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai dari z ke persamaan (1) untuk mendapatkan y.

2 + y − 4	=	1	(1)
y	=	1 − 2 + 4
y	=	3

Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x = 2, y = 3, z = 4.

---

Metode substitusi

Pertama-tama, marilah kita atur persamaan (1) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.

x = 1 − y + z    (1)

Sekarang kita substitusi x ke persamaan (2).

8(1 − y + z) + 3y − 6z	=	1	(2)
8 − 8y + 8z + 3y − 6z	=	1
−5y + 2z	=	1 − 8
−5y + 2z	=	−7	(4)

Dengan cara yang sama seperti di atas, substitusi x ke persamaan (3).

−4(1 − y + z) − y+ 3z	=	1	(3)
−4 + 4y − 4z − y+ 3z	=	1
3y − z	=	1 + 4
3y − z	=	5	(5)

Sekarang kita atur persamaan (5) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.

z = 3y − 5    (6)

Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan (4).

−5y + 2(3y − 5)	=	−7	(4)
−5y + 6y − 10	=	−7
y	=	−7 + 10
y	=	3

Sekarang kita sudah tahu nilai dari y, kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan (6) untuk mencari z.

z	=	3(3) − 5	(6)
z	=	9 − 5
z	=	4

Akhirnya, kita substitusikan nilai dari y dan z ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x.

x	=	1 − 3 + 4	(1)
x	=	2

Jadi, kita telah menemukan solusi untuk sistem persamaan linier di atas: x = 2, y = 3, z = 4.

---

Metode grafik

Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu.

Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini.

x	+	y	=	3	(1)
2x	−	y	=	−3	(2)

Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas.

Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y = 3.

Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan.

---

Metode Matriks Invers

Sistem persamaan linier yang terdiri atas persamaan-persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat juga ditulis dengan bentuk notasi matriks AB = C seperti berikut

1 1 -1 8 3 -6 -4 -1 3

x y z

=

1 1 1

Solusinya adalah matriks B. Agar kita dapat mengisolasi B sendirian di salah satu sisi dari persamaan di atas, kita kalikan kedua sisi dari persamaan di atas dengan invers dari matriks A.

A−1AB	=	A−1C
B	=	A−1C

Sekarang, untuk mencari B kita perlu mencari A⁻¹. Silakan melihat halaman tentang matriks untuk belajar bagaimana mencari invers dari sebuah matriks.

A−1 =	-3 2 3 0 1 2 -4 3 5
B =	-3 2 3 0 1 2 -4 3 5	1 1 1
B =	2 3 4

Jadi solusinya adalah x = 2, y = 3, z = 4.

Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel. Kalkulator di atas juga menggunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.

---

Eliminasi Gauss / Eliminasi Gauss-Jordan

Sistem persamaan liniear yang terdiri atas persamaan-persamaan(1), (2), dan (3) dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks teraugmentasi A seperti berikut

A =	1 1 -1 1 8 3 -6 1 -4 -1 3 1

Dengan melakukan serangkaian operasi baris (Eliminasi Gauss), kita dapat menyederhanakan matriks di atas untuk menjadi matriks Eselon-baris.

A =	1 0,375 -0,75 0,125 0 1 -0,4 1,4 0 0 1 4

Kemudian kita bisa substitusikan kembali nilai-nilai yang kita dapat untuk mencari nilai dari semua variabel. Atau, kita juga bisa meneruskan dengan serangkaian operasi baris lagi sehingga matriks di atas menjadi matriks yang Eselon-baris tereduksi (dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan).

A =	1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4

Dengan melakukan operasi Eliminasi Gauss-Jordan, kita mendapatkan solusi dari sistem persamaan linier di atas pada kolom terakhir: x = 2, y = 3, z = 4.