Sistem Persamaan Liner 2 Variabel

a.    Bentuk-bentuk sistem persamaan linear dua variabel

1)      Perbedaan PLDV dan SPLDV

a)       Persamaan linear dua variabel (PLDV)

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang memiliki dua variabel dan pangkat masing-masing variabelnya satu. Jika dua variabel tersebut x dan y, maka PLDV-nya dapat dituliskan :

ax + by = c             dengan a, b ≠ 0

Contoh :                                                              

1). 2x + 2y = 3

2). y = 3x -2

3). 6y + 4 = 4x

b)      Sistem persamaan linear dua variabel (SLDV)

SPLDV adalah suatu system persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear (PLDV) dan setiap persamaan mempunyai dua variabel. Bentuk umum SPLDV adalah:

  ax + by = c

px + qy = r ; dengan a, b, p, q ≠ 0

Contoh :

1). 3x + 2y = 7 dan x = 3y + 4

2).

3). x – y = 3 dan x + y = -5 atau dapat ditulis

2). Menyatakan suatu variabel dengan variabel lain pada persamaan linear

Contoh :

Diketahui persamaan x + y = 5, jika variabel x dinyatakan dealam variabel y menjadi :

x + y = 5

Û x = 5 – y

3).  Mengenal variabel dan koefisien pada SPLDV

Contoh :

Diketahui SPLDV : 2x + 4y = 12 dan 3x – y = 5

Ø  Variabel SPLDV adalah  x dan y

Ø  Konstanta SPLDV adalah 12 dan 5

Ø  Koefisien x dari SPLDV adalah 2 dan 3

Ø  Koefisien y dari SPLDV adalah 4 dan -1

4).  Akar dan Bukan akar SPLDV

Dalam sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) terdapat pengganti-pengganti dari variabel sehingga kedua persamaan menjadi benar. Pengganti-pengganti variabel yang demikian disebut penyelesaian atau akar dari sistem persamaan linear dua variabel. Apabila pasangan pengganti menyebabkan salah satu atau kedua persamaan menjadi kalimat tidak benar disebut bukan penyelesaian  atau bukan akar dari SPLDV tersebut.

Contoh :

Diketahui SPLDV : 2x – y = 3 dan x + y = 3

Tunjukkan bahwa x = 2 dan y = 1 merupakan akar dari SPLDV tersebut .

Jawab :

Ø  2x – y = 3

Jika x = 2 dan y = 1 disubstitusikan pada persamaan diperoleh

2x  - y = 3

Û 2(2) – 1 = 3

Û 3 = 3 (benar)

Ø  x + y = 3

jika x = 2 dan y = 1 disubstitusikan pada persamaan diperoleh

x + y = 3

Û 2 + 1 = 3

Û 3 = 3 (benar)

Jadi, x = 2 dan y = 1 merupakan akar dari SPLDV 2x – y = 3 dan x + y = 3

b. Penyelesaian SPLDV

Untuk menentukan penyelesaian atau kar dari SPLDV dapat ditentukan dengan 3 cara, yaitu metode grafik, metode substitusi, metode eliminasi.

1.      Metode grafik

Prinsip dari metode grafik yaitu mencari koordinat titik potong grafik dari kedua persamaan. Dari contoh diatas apabila dikerjakan dengan metode grafik sebagai berikut.

x + y = 4

x	0	4
y	4	0
(x,y)	(0,4)	(4,0)

x – 2y = - 2

x	0	-2
y	1	0
(x,y)	(0,1)	(-2,0)

Gambar 1.1 Grafik perpotongan x + y = 4 dan x – 2y = -2

                                          

                                                                 

       

Dari grafik terlihat kedua grafik berpotongan di (2,2). Koordinat titik potong (2,2) merupakan penyelesaiannya

Jadi, penyelesaiannya x = 2 dan y = 2

2.      Metode substitusi

Hal ini dilakukan dengan cara memasukkan atau mengganti salah satu variabel dengan variabel dari persamaan kedua.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari SPLDV : x + y = 4 dan x – 2y = -2 dengan metode substitusi!

Jawab :

Ø  x + y = 4 Þ x = 4 – y

Ø  x = 4 – y disubstitusikan pada x – 2y = - 2 akan diperoleh :

x – 2y = -  2

Û (4 – y ) – 2y = - 2

Û 4 – 3y = - 2

Û -3y = -6

Û y = = 2

Ø  selanjutnya untuk y =2 disubstitusikan pada salah satu persamaan, misalnya ke persamaan x + y = 4, maka diperoleh :

x + y = 4

Û x + 2 = 4

Û x = 4 – 2 = 2

Jadi, penyelesaianya adalah x = 2 dan y = 2

3.      Metode eliminasi

Caranya sebagai berikut :

a.       Menyamakan salah satu koefisien dan pasangan suku dua persamaan bilangan yang sesuai.

b.      Jika tanda pasanganan suku sama, kedua persamaan di kurangkan.

c.       Jika tanda pasangan suku berbeda, kedua suku persamaan ditambahkan

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari SPLDV : x + y = 4 dan x – 2y = -2 dengan metode eliminasi!

Jawab :

Ø  Mengeliminir peubah x

x + y  = 4

x – 2y = - 2

      3y = 6

        y = 2

Ø  Mengeliminir peubah y

x + y  = 4       • 2    2x + 2y = 8

x – 2y = - 2     •1     x – 2y  = -2

                                    3x        = 6

                                       x       = 2

Jadi, penyelesaianya adalah x = 2 dan y = 2